Bachelor- und Masterarbeiten im Rahmen von EXACUS

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Vergleich von EXACUS mit anderen Systemen

Bereits existierende Implementierungen, zum Beispiel ggT von Polynomen, sollen mit Implementierungen in anderen Systemen (Synaps, Maple,...) verglichen werden. In diesem Rahmen soll das Verfahren von Sturm zur Nullstellenisolierung von Polynomen implementiert und mit existierenden Verfahren verglichen werden. Die Arbeit kann auch für das Uspensky-Verfahren auf Bernstein-Polynomen ausgedehnt werden.
Zusatz: Generische Lösung für polynomielle Restefolge:
Man schreibt eine Funktion, die in ganz allgemeiner Form wechselseitig Reste nimmt, bis am Ende der ggT übrig bleibt, und die man mit einer Traits-Klasse so parametrisieren kann, dass man steuern kann, welche Faktoren zwischendurch aus den Polynomen rausgeteilt werden und welche Zwischenergebnisse wie akkumuliert werden ((Sub-)Resultanten) oder ausgegeben werden (Sturmsche Ketten).

Erstellen einer Webseite mit Benchmarks

Dazu gehört auch das Benchmarking und somit Testen von derzeit entwickelten Codes in EXACUS (CnX, CbX, QdX).

Numerische Methoden und Filter

Welche numerischen Methoden zur Isolierung / Approximation von Nullstellen von Polynomen sind sinnvoll? Wie lassen sie sich verifizieren und mit bereits existierenden exakten Verfahren kombinieren?
Weiter sollen Filter für Conix entwickelt und eingebaut werden und mit Implementierungen von Ron Wein verglichen werden.

Randomisiert-inkrementelle Konstruktion der Trapezzerlegung eines Arrangements von Kegelschnitten

Wir folgen der Beschreibung von (R. Seidel: Backwards Analysis of Randomized Geometric Algorithms, in: New Trends in Discrete and Computational Geometry, Algorithms and Combinatorics vol. 10, 1993, 37-68) und erweitern den Algorithmus, so dass er alle degenerierten Fälle behandeln kann und auch für Kurven funktioniert. Dann wenden wir ihn auf Kegelschnitte, wie sie schon in EXACUS existieren, an, und vergleichen ihn mit dem Sweep-basierten Algorithmus.

Approximation von Kurvenstücken

Gegeben ein Arrangement von Kurvenstücken, können wir dieses Arrangement mit weniger Kurvenstücken, aber gleicher Topologie, approximieren, wobei wir eine Fehlerschranke für die Distanz zwischen Eingabe- und Ergebniskurvenstücken einhalten wollen?
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